Le scale musicali:
A partire da questa successione di rapporti è possibile costruire quelle che vengono definite scale musicali, ovvero serie di intervalli in cui le frequenze seguono una progressione geometrica (e non artimetica) e che costituiscono la base fondamentale della musica e degli strumenti musicali. Nella storia sono state utilizzate numerose e diverse scale, seguendo regole matematiche differenti, fino ad arrivare a quella utilizzata ai giorni nostri: la scala a temperamento equabile. Per capire in cosa consiste introduciamo un breve discorso sulle scale precedenti:
la prima ad essere inventata fu la scala pitagorica. Essa si basava esclusivamente sugli intervalli di quinta e ottava, ovvero rapporti 3:2 e 2:1, i quali, come abbiamo già sentito, sono estremamente consonanti tra loro. Osserviamo cosa succede sviluppandola partendo dalla nota Do e costruendo le quinte successive:
| Do | Sol | Re | La | Mi | Si | Fa# | ... |
| 1:1 | 3:2 | 9:8 | 27:16 | 81:64 | 243:128 | 729:512 | ... |
Che svantaggi presenta la scala pitagorica? Continuandola per passaggi successivi scopriamo facilmente che non si chiude, ovvero non si otterrà mai una nota di frequenza tale che sia in rapporto di 2^n con la nota di base. Potenzialmente il meccanismo generativo illustrato è in grado di dividere l'ottava in un numero infinito di parti, rendendo gli intervalli tra due note sempre più piccoli, addirittura al di là della soglia di discriminazione delle frequenze del nostro orecchio. La mancata chiusura del circolo fa inoltre sì che le note Do? (rapporto 2187:2048) e Re? (rapporto 256:243) non coincidano; un teorico pianoforte pitagorico dovrebbe perciò presentare due tasti neri vicini per poter suonare entrambe le note.
Per motivi legati alla maggior consonanza di certi intervalli (terze) rispetto alla scala pitagorica, si impose in un periodo successivo la scala naturale, che basava la sua "naturalità" su un fondamento fisico, ovvero la capacità di una corda tesa di generare armonici multipli dell'onda di base. Si costruisce scegliendo una nota di base e moltiplicando al sua frequenza per 2, 3, 4, ecc., riportando poi le note più elevate all'ottava originale dividendole per 2^(n ottave sopra la nota iniziale).
Queste due grandi famiglie di scale non erano certo prive di problemi:
- la quinta Sol#-Mib è stonata;
- la mancata consonanza della quinta Sol#-Mib nella scala pitagorica e naturale di Do è in realtà solo un aspetto di una questioe più generale: il problema del cambiamento di tonalità. Se uno strumento è accordato secondo la scala pitagorica per suonare in una certa tonalità (ad es. DO), esso suonerà scordato quando suonerà con la stessa scala in un'altra tonalità "lontana" dalla precedente; questo a causa dell'intervallo diverso che separa ogni semitono dall'altro.
Se volessimo quindi trasporre di tonalità una canzone (chi non ha mai chiesto di non suonare una canzone "troppo alta" cantando in compagnia?) dovremmo riaccordare lo strumento da capo in base alla nuova nota di base. Come risolvere questo problema? La soluzione, pur nella sua sconcertante semplicità, è arrivata dopo lunghissimo tempo a causa della separazione che è sempre intercorsa tra i teorici della musica (fisici, matematici, filosofi) e gli artigiani costruttori di strumenti musicali, per i quali tutto è sempre stato frutto di sperimentazione indipendente da concetti e principi astratti. All'origine di tutto stava il non aver diviso l'ottava in parti uguali, ma sempre usando rapporti frazionari. Poiché l'ottava è rappresentata dal rapporto 2:1, e le frequenze si moltiplicano (non si sommano), l'intervallo più piccolo è quello che, moltiplicato per se stesso dodici volte (cioé elevato alla 12) dà 2. Esso corrisponde al semitono temperato.
I vantaggi sono ovviamente legati ai motivi che hanno portato alla costruzione del temperamento equabile:
- l'intonazione di un brano è indipendente dalla tonalità in cui esso è eseguito, cioè dalla nota che si sceglie come base della scala, quindi un brano può venire trasposto in altra tonalità senza dover riaccordare gli strumenti;
- gli strumenti ad intonazione fissa suonano ugualmente bene in tutte le tonalità;
- le note enarmoniche vengono a coincidere (es. Do# e Reb) semplificando la costruzione degli strumenti musicali. Il tasto nero del pianoforte suona sia il Do# che il Reb.
